设曲线L过点(1，－1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若|PT|=|OT|，求曲线L的方程。

admin2019-01-26 50

问题设曲线L过点(1，－1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若|PT|=|OT|，求曲线L的方程。

选项

答案设曲线方程为y=y(x)，则y(1)=－1。过点P(x，y)的切线方程为 Y－y=y’(X－x)，则切线与x轴的交点为[*]因为|PT|=|OT|，所以 [*] 上式两边同时平方可得y’(x²－y²)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令[*]则[*]两边取积分得 [*] 解得[*]将初始条件y(1)=－1代入，则[*]故曲线L的方程为 x²+y²+2y=0。

解析

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