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设A=(aij)n×n为实对称矩阵,求二次型函数f(x1,x2,…,xn)=aijxixj在Rn上的单位球面S:x12+x22+…+xn2=1上的最大值与最小值.
设A=(aij)n×n为实对称矩阵,求二次型函数f(x1,x2,…,xn)=aijxixj在Rn上的单位球面S:x12+x22+…+xn2=1上的最大值与最小值.
admin
2016-06-25
75
问题
设A=(a
ij
)
n×n
为实对称矩阵,求二次型函数f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
a
ij
x
i
x
j
在R
n
上的单位球面S:x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
=1上的最大值与最小值.
选项
答案
应用拉格朗日乘数法 [*] 方程组①,②有非零解的充分必要条件是λ为A的特征值.设[*]为方程组①,②的非零解, 将它代入①式,各方程分别乘上[*]=λ. 所以,二次型函数在单位球面上的最大值与最小值只能是矩阵A的特征值.于是,所求最大值与最小值分别是矩阵A的特征值的最大值与最小值.
解析
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