设A=(aij)n×n为实对称矩阵，求二次型函数f(x1，x2，…，xn)=aijxixj在Rn上的单位球面S：x12+x22+…+xn2=1上的最大值与最小值．

admin2016-06-25 63

问题设A=(a_ij)_n×n为实对称矩阵，求二次型函数f(x₁，x₂，…，x_n)=

a_ijx_ix_j在Rⁿ上的单位球面S：x₁²+x₂²+…+x_n²=1上的最大值与最小值．

选项

答案应用拉格朗日乘数法 [*] 方程组①，②有非零解的充分必要条件是λ为A的特征值．设[*]为方程组①，②的非零解，将它代入①式，各方程分别乘上[*]=λ．所以，二次型函数在单位球面上的最大值与最小值只能是矩阵A的特征值．于是，所求最大值与最小值分别是矩阵A的特征值的最大值与最小值．

解析

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考研数学二

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