设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，Aij是A＝(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝χiχj． (1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式，并证

admin2016-06-30 58

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，A_ij是A＝(a_ij)_n×n中元素a_ij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝

χ_iχ_j．
(1)记X＝(χ₁，χ₂，…，χ_n)^T，把f(χ₁，χ₂，…，χ_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A^-1；
(2)二次型g(X)＝X^TAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案[*] 因秩(A)＝n，故A可逆，A^-1＝[*]A^*，从而(A^-1)^T＝(A^T)^-1＝A^-1，故A^-1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为 [*] (2)因为(A^-1)^TAA^-1＝(A^T)^-1E＝A^-1，所以A与A^-1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形．

解析

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考研数学二

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