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考研
求内接于椭球面的长方体的最大体积.
求内接于椭球面的长方体的最大体积.
admin
2016-09-13
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问题
求内接于椭球面
的长方体的最大体积.
选项
答案
设该内接长方体体积为v,p(x,y,z)(x>0,y>0,z>0)是长方体的一个顶点,且位于椭球面上,由于椭球面关于三个坐标平面对称,所以v=8xyz,x>0,y>0,z>0且满足条件[*]=1.因此,需要求出v=8xyz在约束条件[*]=1下的极值. 设L(x,y,z,λ)=8xyz+λ([*]-1),求出L的所有偏导数,并令它们都等于0,有 [*] ①,②,③分别乘以x,y,z,有 [*] 得[*],于是[*]或λ=0(λ=0时,8xyz=0,不合题意,舍去). 把[*]代入④,有[*]-1=0,解得[*] 由题意知,内接于椭球面的长方体的体积没有最小值,而存在最大值,因而以点[*]为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体,体积为v=[*]
解析
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考研数学三
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