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  3. 求内接于椭球面的长方体的最大体积．

求内接于椭球面的长方体的最大体积．

admin2016-09-13  62
问题 求内接于椭球面的长方体的最大体积．
选项
答案设该内接长方体体积为v，p(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件[*]=1．因此，需要求出v=8xyz在约束条件[*]=1下的极值． 设L(x，y，z，λ)=8xyz+λ([*]－1)，求出L的所有偏导数，并令它们都等于0，有 [*] ①，②，③分别乘以x，y，z，有 [*] 得[*]，于是[*]或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)． 把[*]代入④，有[*]－1=0，解得[*] 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点[*]为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为v=[*]
解析
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考研数学三

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