设A为三阶矩阵，a1，a2，a3是三维线性无关的向量组，且Aa1=a1+3a2，Aa2—5a1一a2，Aa3=a1一a2+4a3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆Q，使得Q－1AQ为对角阵．

admin2020-05-16 29

问题设A为三阶矩阵，a₁，a₂，a₃是三维线性无关的向量组，且Aa₁=a₁+3a₂，Aa₂—5a₁一a₂，Aa₃=a₁一a₂+4a₃．
(I)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆Q，使得Q^－1AQ为对角阵．

选项

答案(I)令P=(a₁，a₂，a₃)，因为a₁，a₂，a₃线性无关，所以P可逆．因为Aa₁＝a₁+3a₂，Aa₂=5a₁一a₂，a₁一a₂+4a₃，所以(Aa₁，Aa₂，Aa₃)=(a₁+3a₂，5a₁一a₁，a₁一a₂+4a₃)，从而A(a₁，a₂，a₃)=(a₁，a₂，a₃)[*]，即AP=P[*]或者 p^－1Ap=[*]=B，于是有A～B．由｜XE－B｜=[*]=(λ+4)(λ一4)²=0 得A的特征值为λ₁=－4，λ₂=λ₃=4. (Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ₁=一4，λ₂=λ₃=4．当λ₁=一4时，由(一4E一B)X=0得ξ₁=[*]；当λ₂=λ₃=4时，由(4E—B)X=0得ξ₂=[*]，令P₁=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*],则[*]，因为P^－1AP=B，所以 [*] 取Q=PP₁=(－a₁+a₂，5a₁+3a₂+a₁+3a₃)，则Q^－1AQ=[*]

解析

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考研数学三

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