2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，a1，a2，a3是三维线性无关的向量组，且Aa1=a1+3a2，Aa2—5a1一a2，Aa3=a1一a2+4a3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆Q，使得Q－1AQ为对角阵．

设A为三阶矩阵，a1，a2，a3是三维线性无关的向量组，且Aa1=a1+3a2，Aa2—5a1一a2，Aa3=a1一a2+4a3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆Q，使得Q－1AQ为对角阵．

admin2020-05-16  48
问题 设A为三阶矩阵，a1，a2，a3是三维线性无关的向量组，且Aa1=a1+3a2，Aa2—5a1一a2，Aa3=a1一a2+4a3．
(I)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆Q，使得Q－1AQ为对角阵．   
选项
答案(I)令P=(a1，a2，a3)，因为a1，a2，a3线性无关，所以P可逆． 因为Aa1＝a1+3a2，Aa2=5a1一a2，a1一a2+4a3， 所以(Aa1，Aa2，Aa3)=(a1+3a2，5a1一a1，a1一a2+4a3)， 从而A(a1，a2，a3)=(a1，a2，a3)[*]，即AP=P[*]或者 p－1Ap=[*]=B，于是有A～B． 由｜XE－B｜=[*]=(λ+4)(λ一4)2=0 得A的特征值为λ1=－4，λ2=λ3=4. (Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ1=一4，λ2=λ3=4． 当λ1=一4时，由(一4E一B)X=0得ξ1=[*]； 当λ2=λ3=4时，由(4E—B)X=0得ξ2=[*]， 令P1=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*],则[*]， 因为P－1AP=B，所以 [*] 取Q=PP1=(－a1+a2，5a1+3a2+a1+3a3)，则Q－1AQ=[*]
解析
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考研数学三

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