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设A为三阶矩阵,a1,a2,a3是三维线性无关的向量组,且Aa1=a1+3a2,Aa2—5a1一a2,Aa3=a1一a2+4a3. (I)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆Q,使得Q-1AQ为对角阵.
设A为三阶矩阵,a1,a2,a3是三维线性无关的向量组,且Aa1=a1+3a2,Aa2—5a1一a2,Aa3=a1一a2+4a3. (I)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆Q,使得Q-1AQ为对角阵.
admin
2020-05-16
54
问题
设A为三阶矩阵,a
1
,a
2
,a
3
是三维线性无关的向量组,且Aa
1
=a
1
+3a
2
,Aa
2
—5a
1
一a
2
,Aa
3
=a
1
一a
2
+4a
3
.
(I)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆Q,使得Q
-1
AQ为对角阵.
选项
答案
(I)令P=(a
1
,a
2
,a
3
),因为a
1
,a
2
,a
3
线性无关,所以P可逆. 因为Aa
1
=a
1
+3a
2
,Aa
2
=5a
1
一a
2
,a
1
一a
2
+4a
3
, 所以(Aa
1
,Aa
2
,Aa
3
)=(a
1
+3a
2
,5a
1
一a
1
,a
1
一a
2
+4a
3
), 从而A(a
1
,a
2
,a
3
)=(a
1
,a
2
,a
3
)[*],即AP=P[*]或者 p
-1
Ap=[*]=B,于是有A~B. 由|XE-B|=[*]=(λ+4)(λ一4)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=-4,λ
2
=λ
3
=4. (Ⅱ)因为A~B,所以B的特征值为λ
1
=一4,λ
2
=λ
3
=4. 当λ
1
=一4时,由(一4E一B)X=0得ξ
1
=[*]; 当λ
2
=λ
3
=4时,由(4E—B)X=0得ξ
2
=[*], 令P
1
=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*],则[*], 因为P
-1
AP=B,所以 [*] 取Q=PP
1
=(-a
1
+a
2
,5a
1
+3a
2
+a
1
+3a
3
),则Q
-1
AQ=[*]
解析
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考研数学三
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