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设A为三阶矩阵，a1，a2，a3是三维线性无关的向量组，且Aa1=a1+3a2，Aa2—5a1一a2，Aa3=a1一a2+4a3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆Q，使得Q－1AQ为对角阵．
设A为三阶矩阵，a1，a2，a3是三维线性无关的向量组，且Aa1=a1+3a2，Aa2—5a1一a2，Aa3=a1一a2+4a3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆Q，使得Q－1AQ为对角阵．
admin
2020-05-16
33
问题
设A为三阶矩阵，a
1
，a
2
，a
3
是三维线性无关的向量组，且Aa
1
=a
1
+3a
2
，Aa
2
—5a
1
一a
2
，Aa
3
=a
1
一a
2
+4a
3
．
(I)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆Q，使得Q
－1
AQ为对角阵．
选项
答案
(I)令P=(a
1
，a
2
，a
3
)，因为a
1
，a
2
，a
3
线性无关，所以P可逆． 因为Aa
1
＝a
1
+3a
2
，Aa
2
=5a
1
一a
2
，a
1
一a
2
+4a
3
， 所以(Aa
1
，Aa
2
，Aa
3
)=(a
1
+3a
2
，5a
1
一a
1
，a
1
一a
2
+4a
3
)， 从而A(a
1
，a
2
，a
3
)=(a
1
，a
2
，a
3
)[*]，即AP=P[*]或者 p
－1
Ap=[*]=B，于是有A～B． 由｜XE－B｜=[*]=(λ+4)(λ一4)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=－4，λ
2
=λ
3
=4. (Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ
1
=一4，λ
2
=λ
3
=4． 当λ
1
=一4时，由(一4E一B)X=0得ξ
1
=[*]； 当λ
2
=λ
3
=4时，由(4E—B)X=0得ξ
2
=[*]， 令P
1
=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=[*],则[*]， 因为P
－1
AP=B，所以 [*] 取Q=PP
1
=(－a
1
+a
2
，5a
1
+3a
2
+a
1
+3a
3
)，则Q
－1
AQ=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U1x4777K
0
考研数学三
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