(08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2018-08-01 113

问题 (08)设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^-1AP．

选项

答案(Ⅰ)设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂， -k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0 ② ①-②，得 2k₁α₁-k₃α₂=0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关．从而由③式知k₁=k₂=0，代入①式得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，Aα₂，Aα₃] =[-α₁，α₂，α₂+α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P^-1左乘上式两端，得 P^-1AP=[*].

解析

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考研数学二

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(08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

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已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有

设A=，且AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0的通解．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a>0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．

设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’≠1，则=_______

设A为三阶矩阵，Aαi=iαi(i=1，2，3)，，求A．

设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．

设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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临床上用于治疗雄性极速圆形脱发的是()。

板式塔的压强降比浮阀塔及固定舌形塔都低，操作弹性范围(　　)。

学生的实际发展水平与在成人的指导下可能达到的水平之间的差距，维果茨基称之为()。

在中国共产党的历史上，对毛泽东思想作出系统概括和阐述的党的文献有()。

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