2. 考研
  3. (08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

(08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2018-08-01  69
问题 (08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．
    (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
    (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．
选项
答案(Ⅰ)设存在一组常数k1，k2，k3，使得 k1α1+k2α2+k3α3=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα1=-α1，Aα2=α2， -k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0 ② ①-②，得 2k1α1-k3α2=0 ③ 因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关．从而由③式知k1=k2=0，代入①式得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3] =[-α1，α2，α2+α3]=[α1，α2，α3][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P-1左乘上式两端，得 P-1AP=[*].
解析
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考研数学二

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