(08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2018-08-01 76

问题 (08)设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^-1AP．

选项

答案(Ⅰ)设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂， -k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0 ② ①-②，得 2k₁α₁-k₃α₂=0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关．从而由③式知k₁=k₂=0，代入①式得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，Aα₂，Aα₃] =[-α₁，α₂，α₂+α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P^-1左乘上式两端，得 P^-1AP=[*].

解析

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考研数学二

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(08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

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设矩阵A＝相似于矩阵B＝　(I)求a，b的值；　(II)求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

设函数f(x)＝(α>0，β>0)．若(x)在x＝0处连续，则

求微分方程y"-y’+2y=0的通解．

求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．

设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a

设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．

设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_______．

设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3．(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

建设社会主义核心价值体系，最根本的是()

血吸虫病的并发症包括

依施工合同示范文本规定，下列关于竣工前的单机无负荷试车的说法，正确的是(　　)。

债权债务的清查方法是()。

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下列属于可再生资源的是()。

Dukeboxhasbeenoneofthemostprofitablerecordingcompaniesinthemusicindustryfor______threedecades.

Americanwomenwilloccasionallywearshortskirts,sleevelessshirts,makeup,perfume,mightevenshowsomecleavage:she’sju

A、Cleaningfluids.B、Bums.C、Unusualsmell.D、Milk.A

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