设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):Ax=0和(Ⅱ):ATAx=0,必有

admin2020-03-01  23

问题 设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):Ax=0和(Ⅱ):ATAx=0,必有

选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解.
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.

答案A

解析 若x满足Ax=0,两端左乘AT,得ATAx=0,故Ax=0的解都是ATAx=0的解;若x满足ATAx=0,两端左乘xT,得(xTAT) (Ax)=0,即(Ax)T(Ax)=0,或||Ax||2=0,得Ax=0,所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解.因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,只有选项(A)正确.
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