若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．

admin2017-11-23 67

问题若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；
(Ⅱ)

自然数n，存在唯一的x_n∈(0，1)，使得

．

选项

答案(Ⅰ) 由题设条件及罗尔定理， [*] => f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a， f(x)＞f(1)=0(0≤x＜1)， => f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅱ) 由题设知存在x_M∈(0，1)使得f(x_M)=M＞0．先证[*]是f’(x)的某一中间值．因f’(x_M)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ_n∈(0，x_M)使得 [*] 这里f’(x)在[ξ_n，x_M]连续，再由连续函数中间值定理=>存在x_n∈(ξ_n，x_M)[*](0，1)，使得 [*] 最后再证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))=>f’(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内 [*] 的点是唯一的，即x_n．

解析

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考研数学一

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若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．

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