若函数f(c)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(x)>0(x∈(0,1)); (Ⅱ)自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得.

admin2017-11-23  38

问题 若函数f(c)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
    (Ⅰ)f(x)>0(x∈(0,1));
    (Ⅱ)自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得

选项

答案(Ⅰ) 由题设条件及罗尔定理, [*] => f(x)>f(0)=0(0<x≤a, f(x)>f(1)=0(0≤x<1), => f(x)>0(x∈(0,1)). (Ⅱ) 由题设知存在xM∈(0,1)使得f(xM)=M>0. 先证[*]是f’(x)的某一中间值.因f’(xM)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξn∈(0,xM)使得 [*] 这里f’(x)在[ξn,xM]连续,再由连续函数中间值定理=>存在xn∈(ξn,xM)[*](0,1),使 得 [*] 最后再证唯一性.由f’’(x)<0(x∈(0,1))=>f’(x)在(0,1)单调减少=>在区间(0,1)内 [*] 的点是唯一的,即xn

解析
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