2. 考研
  3. 若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．

若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．

admin2017-11-23  59
问题 若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
    (Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；
    (Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．
选项
答案(Ⅰ) 由题设条件及罗尔定理， [*] => f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a， f(x)＞f(1)=0(0≤x＜1)， => f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅱ) 由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0． 先证[*]是f’(x)的某一中间值．因f’(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξn∈(0，xM)使得 [*] 这里f’(x)在[ξn，xM]连续，再由连续函数中间值定理=>存在xn∈(ξn，xM)[*](0，1)，使 得 [*] 最后再证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))=>f’(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内 [*] 的点是唯一的，即xn．
解析
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考研数学一

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