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  3. 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解。 (Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2； (Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。

已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解。 (Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2； (Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。

admin2018-11-22  58
问题 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解。
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2；
(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。
选项
答案(Ⅰ)设α1，α2，α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α1-α2)=0，A(α1-α3)=0，即α1-α2，α1-α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关。(否则，易推出α1，α2，α3线性相关，与假设矛盾。) 所以有n-R(A)≥2，即4-R(A)≥2[*]R(A)≤2。 又矩阵A中的一个2阶子式[*]=-1≠0，所以R(A)≥2。 因此R(A)=2。 (Ⅱ)对矩阵A作初等行度换，即 [*] 又R(A)=2，则 [*] 对原方程组的增广矩阵[*]作初等行变换， [*] 故原方程组的同解方程组为 [*] 选x3，x4为自由变量，则 [*] 故所求通解为x=k1[*]+k2[*]，k1，k2为任意常数。
解析
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考研数学一

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