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  3. 对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

admin2018-11-22  18
问题 对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量

试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
选项
答案记pi=P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相关系数．易见，随机变量X1和X2都服从0～1分布，并且 P{Xi=1}=P(Ai)，P{Xi=0)=[*]，P{X1=1，X2=1}=P(A1A2)． (1)必要性．设随机变量X1和X2独立，则 P(A1A2)=P{X1=1，X2=1)=P{X1=1)P(X2=1}=P(A1)P(A2)． 从而，事件A1和A2相互独立． (2)充分性．设事件A1和A2相互独立，则[*]也都独立，故 P{X1=0，X2=0}=[*]=P{X1=0)P{X2=0}， P{X1=0，X2=1}=P{X1=0}P{X2=1}， P{X1=1，X2=0}=[*]=P{X1=1}P{X2=0}， P{X1=1X2=1}=[*]=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=P{X2=1}P{X2=1}． 从而，随机变量X1和X2相互独立．
解析
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考研数学一

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