2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)上二阶连续可微，对于任何x∈[1，+∞)有f(x)＞0，且f”(x)=+∞．证明：无穷积分∫1+∞收敛．

设f(x)在[1，+∞)上二阶连续可微，对于任何x∈[1，+∞)有f(x)＞0，且f”(x)=+∞．证明：无穷积分∫1+∞收敛．

admin2022-11-23  49
问题 设f(x)在[1，+∞)上二阶连续可微，对于任何x∈[1，+∞)有f(x)＞0，且f”(x)=+∞．证明：无穷积分∫1+∞收敛．
选项
答案因为[*]f”(x)=+∞，所以对任意充分大的正数M，存在x0∈[1．+∞)，当x＞x0时．有f”(x)＞M．因此f’(x)＞f’(x0)+M(x-x0)，x＞x0．从而存在x1＞x0．使得f’(x1)＞0．由泰勒定理知，存在ξ∈(x1，x)，有 f(x)=f(x1)+f’(x1)(x-x1)+[*]f”(ξ)(x-x1)2， 由于f(x1)＞0．f’(x1)＞0，可得f(x)＞[*]f”(ξ)(x-x1)2，x＞x1时，所以有[*]，x＞x1时，由于[*]收敛，根据比较原则知，[*]，因此∫1+∞[*]收敛．
解析
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考研数学三

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