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设f(x)在[1,+∞)上二阶连续可微,对于任何x∈[1,+∞)有f(x)>0,且f”(x)=+∞.证明:无穷积分∫1+∞收敛.
设f(x)在[1,+∞)上二阶连续可微,对于任何x∈[1,+∞)有f(x)>0,且f”(x)=+∞.证明:无穷积分∫1+∞收敛.
admin
2022-11-23
44
问题
设f(x)在[1,+∞)上二阶连续可微,对于任何x∈[1,+∞)有f(x)>0,且
f”(x)=+∞.证明:无穷积分∫
1
+∞
收敛.
选项
答案
因为[*]f”(x)=+∞,所以对任意充分大的正数M,存在x
0
∈[1.+∞),当x>x
0
时.有f”(x)>M.因此f’(x)>f’(x
0
)+M(x-x
0
),x>x
0
.从而存在x
1
>x
0
.使得f’(x
1
)>0.由泰勒定理知,存在ξ∈(x
1
,x),有 f(x)=f(x
1
)+f’(x
1
)(x-x
1
)+[*]f”(ξ)(x-x
1
)
2
, 由于f(x
1
)>0.f’(x
1
)>0,可得f(x)>[*]f”(ξ)(x-x
1
)
2
,x>x
1
时,所以有[*],x>x
1
时,由于[*]收敛,根据比较原则知,[*],因此∫
1
+∞
[*]收敛.
解析
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考研数学三
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