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设x∈(0,1),证明下面不等式: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2; (2)
设x∈(0,1),证明下面不等式: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2; (2)
admin
2016-09-13
100
问题
设x∈(0,1),证明下面不等式:
(1)(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
;
(2)
选项
答案
(1)令φ(x)=x
2
-(1+x)ln
2
(1+x),有φ(0)=0,且 φˊ(x)=2x-ln
2
(1+x)-2ln(1+x),φˊ(0)=0. 当x∈(0,1)时,φˊˊ(x)=[*][x-ln(1+x)]>0,知φˊ(x)单调递增,从而φˊ(x)>φˊ(0)=0,知φ(x)单调递增,则φ(x)>φ(0)=0,即(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
. (2)令f(x)=[*],x∈[0,1],则有 [*] 由(1)得,当x∈(0,1)时fˊ(x)<0,知f(x)单调递减,从而f(x)>f(1)=[*]-1. 又因为[*] 当x∈(0,1)时,fˊ(x)<0,知f(x)单调递减,且f(x)<f(0
+
)=[*],所以 [*]
解析
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考研数学三
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