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[2009年] 设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. 若二次型f(x1,x2,x3)的规范形为y12+y22,求a的值.
[2009年] 设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. 若二次型f(x1,x2,x3)的规范形为y12+y22,求a的值.
admin
2019-06-25
55
问题
[2009年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a-1)x
3
2
+2x
1
x
3
-2x
2
x
3
.
若二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值.
选项
答案
解一 由于f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,A合同于[*]故秩(A)=[*]=2. 因而|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=0. 当λ
1
=0即a=0时,λ
2
=1,λ
3
=-2,此时f的规范形为y
3
2
-y
2
2
,不符合题意. 当λ
2
=a+1=0即a=-1时,λ
1
=-1,λ
3
=-3,此时f的规范形为-y
1
2
-y
3
2
,不符合 题意. 当λ
3
=a一2=0即a=2时,λ
1
=2,λ
2
=3,此时f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,符合题意. 综上所述,可知a=2. 解二 二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,说明f的矩阵有两个正特征值,另一个特征值为0,即f的正惯性指数为2,负惯性指数为0,但到底哪一个特征值为0呢? 若λ
1
=a=0,则λ
2
=1>0,λ
3
=-2<0,不符合题设要求. 若λ
2
=0,即a=-1,这时λ
1
=a=-1<0,λ
3
=a-2=-3>0,不符合题设要求. 若λ
3
=0,即a=2,则λ
1
=a-2>0,λ
2
=a+1=1+2=3>0,符合题设要求. 因而a=2.于是A的三个特征值分别为λ
1
=2,λ
2
=3,λ
3
=0. 解三 由于厂的规范形为y
1
2
+y
2
2
,A有两个正特征值,另一个特征值为0.又a-2<a<a+1,故a=2就可达到要求,因而λ
1
=2,λ
2
=3,λ
3
=0.
解析
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考研数学三
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