[2009年] 设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. 若二次型f(x1,x2,x3)的规范形为y12+y22,求a的值.

admin2019-06-25  36

问题 [2009年]  设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3
若二次型f(x1,x2,x3)的规范形为y12+y22,求a的值.

选项

答案解一 由于f的规范形为y12+y22,A合同于[*]故秩(A)=[*]=2. 因而|A|=λ1λ2λ3=0. 当λ1=0即a=0时,λ2=1,λ3=-2,此时f的规范形为y32-y22,不符合题意. 当λ2=a+1=0即a=-1时,λ1=-1,λ3=-3,此时f的规范形为-y12-y32,不符合 题意. 当λ3=a一2=0即a=2时,λ1=2,λ2=3,此时f的规范形为y12+y22,符合题意. 综上所述,可知a=2. 解二 二次型f的规范形为y12+y22,说明f的矩阵有两个正特征值,另一个特征值为0,即f的正惯性指数为2,负惯性指数为0,但到底哪一个特征值为0呢? 若λ1=a=0,则λ2=1>0,λ3=-2<0,不符合题设要求. 若λ2=0,即a=-1,这时λ1=a=-1<0,λ3=a-2=-3>0,不符合题设要求. 若λ3=0,即a=2,则λ1=a-2>0,λ2=a+1=1+2=3>0,符合题设要求. 因而a=2.于是A的三个特征值分别为λ1=2,λ2=3,λ3=0. 解三 由于厂的规范形为y12+y22,A有两个正特征值,另一个特征值为0.又a-2<a<a+1,故a=2就可达到要求,因而λ1=2,λ2=3,λ3=0.

解析
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