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  3. [2009年] 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3． 若二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a的值．

[2009年] 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3． 若二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2019-06-25  28
问题 [2009年]  设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3．
若二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a的值．
选项
答案解一 由于f的规范形为y12+y22，A合同于[*]故秩(A)=[*]=2. 因而|A|=λ1λ2λ3=0． 当λ1=0即a=0时，λ2=1，λ3=－2，此时f的规范形为y32－y22，不符合题意． 当λ2=a+1=0即a=－1时，λ1=－1，λ3=－3，此时f的规范形为－y12－y32，不符合 题意． 当λ3=a一2=0即a=2时，λ1=2，λ2=3，此时f的规范形为y12+y22，符合题意． 综上所述，可知a=2． 解二 二次型f的规范形为y12+y22，说明f的矩阵有两个正特征值，另一个特征值为0，即f的正惯性指数为2，负惯性指数为0，但到底哪一个特征值为0呢? 若λ1=a=0，则λ2=1＞0，λ3=－2＜0，不符合题设要求． 若λ2=0，即a=－1，这时λ1=a=－1<0，λ3=a－2=－3＞0，不符合题设要求． 若λ3=0，即a=2，则λ1=a－2＞0，λ2=a+1=1+2=3＞0，符合题设要求． 因而a=2．于是A的三个特征值分别为λ1=2，λ2=3，λ3=0． 解三 由于厂的规范形为y12+y22，A有两个正特征值，另一个特征值为0．又a－2＜a＜a+1，故a=2就可达到要求，因而λ1=2，λ2=3，λ3=0．
解析
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考研数学三

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