设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0, 证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(ξ).

admin2018-04-15  21

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,
    证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(ξ).

选项

答案不妨设f(a)>0,f(b)>0,[*]令φ(x)=e-xf(x),则 φ′(x)=e-x[f′(x)一f(x)]. 因为φ(a)>0,[*]φ(b)>0,所以存在[*] 使得φ(ξ1)=φ(ξ)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0, 即e[f′(ξ)一f(ξ)]=0,因为e≠0,所以f′(ξ)=f(ξ).

解析
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