2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0， 证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0， 证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=f(ξ)．

admin2018-04-15  55
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，
    证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=f(ξ)．
选项
答案不妨设f(a)＞0，f(b)>0，[*]令φ(x)=e-xf(x)，则 φ′(x)=e-x[f′(x)一f(x)]． 因为φ(a)＞0，[*]φ(b)>0，所以存在[*] 使得φ(ξ1)=φ(ξ)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)=0， 即e-ξ[f′(ξ)一f(ξ)]=0，因为e-ξ≠0，所以f′(ξ)=f(ξ)．
解析
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考研数学三

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