设函数f(x)=lnx+，数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。

admin2018-01-30 86

问题设函数f(x)=lnx+

，数列{x_n}满足lnx_n+

＜1，证明

x_n存在，并求此极限。

选项

答案令f^’(x)=[*]＜0，则x＜1。于是f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以x=1是f(x)唯一的最小值点，且f(x)≥f(1)=1，从而有f(x_n)=lnx_n+[*]≥1。再结合题目中的条件有 [*] 所以x_n＜x_n＋1，0＜x_n＜e，即数列{x_n}单调递增且有界。由单调有界准则可知，极限[*]x_n存在。 [*] 由前面讨论出的函数f(x)的性质可知[*]x_n=a=1。

解析

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