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  3. 设函数f(x)=lnx+，数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。

设函数f(x)=lnx+，数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。

admin2018-01-30  48
问题 设函数f(x)=lnx+，数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。
选项
答案令f’(x)=[*]＜0，则x＜1。于是f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以x=1是f(x)唯一的最小值点，且f(x)≥f(1)=1，从而有f(xn)=lnxn+[*]≥1。再结合题目中的条件有 [*] 所以xn＜xn＋1，0＜xn＜e，即数列{xn}单调递增且有界。由单调有界准则可知，极限[*]xn存在。 [*] 由前面讨论出的函数f(x)的性质可知[*]xn=a=1。
解析
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考研数学二

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