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  3. 已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．

已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．

admin2016-10-27  79
问题 已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．
选项
答案由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0+0=0知，α1+α2是齐次方程组Ax=0的解．类似可知α2+α3，α3+α1也是Ax=0的解． 若k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，即 (k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0， 因为α1，α2，α3是基础解系，它们是线性无关的，故 [*] 由于此方程组系数行列式D=[*]=2≠0，故必有k1=k2=k3=0，所以α1+α2，α2+α3， α3+α1线性无关． 根据题设，Ax=0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α1+α2，α2+α3，α3+α1是方程组Ax=0的基础解系．
解析 按基础解系的定义，要证三个方面：
①α1+α2，α2+α3，α3+α1是解；
②它们线性无关；
③向量个数等于n一r(A)．
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考研数学一

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