设是正项级数，并设=b． (1)求证：若b＞1，则收敛；若b＜1，则发散； (2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．

admin2020-03-10 90

问题设

是正项级数，并设

=b．
(1)求证：若b＞1，则

收敛；若b＜1，则

发散；
(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．

选项

答案(1)设b＞1，任取ε＞0，使得b－e＞1，因为[*]N，当n≥N时， [*] 因b－ε＞1，所以[*]收敛，由正项级数的比较审敛法知[*]收敛．又假设b＜1，任取ε＞0，使得b+ε＜1，因为[*]N，当n≥N时， [*] 因b+ε＜1，所以[*]发散，由正项级数的比较审敛法知[*]发散． (2)级数[*]发散，这时b=[*]=1；级数[*]根据积分审敛法易知其收敛，这时令x=lnn，n→+∞=>x→+∞，则有 [*] 所以有b=[*]=1．

解析

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