设是正项级数,并设=b. (1)求证:若b>1,则收敛;若b<1,则发散; (2)当b=1时,试举出可能收敛也可能发散的例子.

admin2020-03-10  35

问题是正项级数,并设=b.
(1)求证:若b>1,则收敛;若b<1,则发散;
(2)当b=1时,试举出可能收敛也可能发散的例子.

选项

答案(1)设b>1,任取ε>0,使得b-e>1,因为[*]N,当n≥N时, [*] 因b-ε>1,所以[*]收敛,由正项级数的比较审敛法知[*]收敛. 又假设b<1,任取ε>0,使得b+ε<1,因为[*]N,当n≥N时, [*] 因b+ε<1,所以[*]发散,由正项级数的比较审敛法知[*]发散. (2)级数[*]发散,这时b=[*]=1; 级数[*]根据积分审敛法易知其收敛,这时令x=lnn,n→+∞=>x→+∞,则有 [*] 所以有b=[*]=1.

解析
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