设A=E一ξξT，ξ是非零列向量，证明：(1)A2=A的充要条件是考ξTξ=1；(2)当ξTξ=1时，A不可逆．

admin2018-08-22 47

问题设A=E一ξξ^T，ξ是非零列向量，证明：(1)A²=A的充要条件是考ξ^Tξ=1；(2)当ξ^Tξ=1时，A不可逆．

选项

答案(1)A²=(E一ξξ^T)²=E-2ξξ^T+(ξξ^T)²=E一(2一ξ^Tξ)ξξ^T=A[*]2一ξ^Tξ=1，即ξ^Tξ=2—1=1． (2)ξ^Tξ=1，A²-A=A(A-E)=O，A≠E，AX=0有非零解，故|A|=0，即A不可逆．

解析

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考研数学二

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