设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

admin2016-01-11 105

问题设3元的实二次型f=x^TAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．
求一个正交变换x=Py将二次型f=x^TAx化成标准；

选项

答案由A的各行元素之和为3知，λ₁=3是A的特征值，其对应的特征向量为α₁=k(1，1，1)^T，k≠0为任意常数．由二次型f=x^TAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ₂=λ₃=0，设其对应的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，则有(x，α₁)=0，即x₁+x₂+x₃=0，解得λ₂=λ₃=0对应的特征向量为 [*] 则P为正交矩阵，x=Py为正交变换，将二次型f=x^TAx化成标准形．f=3y₁²．

解析

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