首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.
admin
2016-06-25
65
问题
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(A
T
A)=r(A);(2)A
T
AX=A
T
b一定有解.
选项
答案
(1)设r(A)=r
1
,r(A
T
A)=r
2
,由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0,故AX=0的基础解系(含n一r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n一r
2
个无关解)之中,所以 n一r
1
≤n一r
21
, 故有r
2
≤r
1
,即r(A
T
A)≤r(A). ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量),必有X
T
A
T
AX=0,即(AX)
T
AX=0,设AX=[b
1
,b
2
,…,b
m
]
T
, 则(AX)
T
(AX)=[*]b
2
=0,必有b=b2=…=k=0,即AX=0,故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组AX=0,从而有 n一r(A
T
A)≤n一r(A), r(A)≤r(A
T
A). ② 由式子①,⑦得证r(A)=r(A
T
A). (2)A
T
AX=A
T
b有解←→r(A
T
A)=r(A
T
A|A
T
b). 由(1)知r(A)=r(A
T
)=r(A
T
A),将A
T
,A
T
A=B以列分块,且B=A
T
A的每个列向量均可由A
T
的列向量线性表出,故A
T
和B=A
T
A的列向量组是等价向量组,A
T
b是A
T
的列向量组的某个线性组合,从而r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故 r(A
T
A)=r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b), 故(A
T
A)X=A
T
b有解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bBt4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设f(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意的x,y∈(-∞,+∞)有|f(x)-f(y)|≤|x-y|.证明:|∫abf(x)dx-(b-a)f(a)|≤1/2(b-a)2.
设f(x),g(x)是连续函数,当x→0时,f(x)与g(x)是等价无穷小,令F(x)=∫0xf(x-t)dt,G(x)=|xg(xt)dt,则当x→0时,F(x)是G(x)的().
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值.
[*]
已知=∫0+∞4x2e-2xdx,求常数a的值。
设有以下命题:则以上命题都正确的是________。
求方程的通解。
设y=(C1+C2x)e2x是某二阶常系数线性微分方程的通解,求对应的方程。
设A,B均为n阶矩阵,若E-AB可逆,证明E-BA可逆.
设A是n(n>1)阶矩阵,满足Ak=2E(k>2,k∈Z+),则(A+)k=().
随机试题
中压废热锅炉的蒸汽压力为()。
A.机械性刺激敏感B.突发性电击样痛C.定点性咀嚼剧痛D.疼痛不定位,夜间加重E.刺痛人洞引起疼痛下述疾病可能出现的疼痛描述正确的是深龋
赵某与罗某系邻居。两人因日常小事纠纷不断。某日,两人又起纠纷,争吵中罗某抄起木棍,打在赵某头上,致使其严重脑震荡,左耳失聪,赵某因此受重伤而向公安机关报案。公安机关认为本案系邻里纠纷,以民事调解为宜,不予立案。赵某即将本案诉至人民法院。下列选项中,哪一项不
当电梯轿厢使用玻璃轿壁时,必须安装()高度的扶手。
你认为最重要的样品是()
环境创设中,幼儿与教师共同合作,共同参与,符合幼儿环境创设的()原则。
森林效应:一棵树如果单独生长在一个地方,往往比较矮小、畸形,而当众多树木生长在一起、,共用水源的时候,往往能长得郁郁葱葱。请问“森林效应”对你有什么启示?
长期以来,我国城市管理执法体制弊端多多,部门林立,各管一摊。管市容的不管破坏绿化的,管破坏绿化的不管违章建设,管违章建设的不管街头无照摆摊……而许多违法问题的处理又常常涉及几个执法部门。比如,对于马路市场,工商、交通、市容等执法部门都可以管,叉都可以不管。
用来控制、指挥和协调计算机各部件工作的是()。
HIV&AIDS[A]AIDShasnowsurpassedtheBlackDeathonitscoursetobecometheworstpandemicinhumanhistory.Attheendof
最新回复
(
0
)