设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2016-06-25 76

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n一r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n一r₂个无关解)之中，所以 n一r₁≤n一r₂₁，故有r₂≤r₁，即r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]b²=0，必有b=b2=…=k=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n一r(A^TA)≤n一r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由式子①，⑦得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解←→r(A^TA)=r(A^TA｜A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)=r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

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考研数学二

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设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

考研数学二

微分方程xy′=+y(x＞0)的通解为________.

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′-(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=，b=.

设f(x)在[a，b上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥(a+b)/2∫abf(x)dx.

设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是________。

已知抛物线y=px2+qx(其中p0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.p值和q值为何值时，S达到最大？

设f(x)=x/tanx，求f(x)的间断点并判断其类型．

y"－4y=e2x的通解为________。

常规数据收集中最常用的方法是

关于司法的基本原则，下列哪一说法是不准确的?()

把人力看成人员素质综合发挥的作用力。认为人力资源是劳动生产过程中，可以直接投入的各种能力的综合。这种表述是一种()。

改善分流条件的措施有(　　)。

办理指定交易变更手续时，投资者须向其原指定交易的交易参与人提出撤销指定交易的申请，并由()完成向证券交易所交易系统撤销指定交易的指令申报。

“义，利也。”这一古代功利主义思想源自()。

通过新旧法律的对比来了解法律的含义，属于法律解释方法中的()。

Mr.Johnsonworkedinanoffice.Hewasshortandfatandhelookedlikeaforty-year-oldman36hewasnomorethanthirty-five

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