2. 考研
  3. 设α是n维非零列向量，矩阵A＝E－ααT．证明：(1)A2＝A的充要条件是αTα＝1；(2)当αTα＝1时，A不可逆．

设α是n维非零列向量，矩阵A＝E－ααT．证明：(1)A2＝A的充要条件是αTα＝1；(2)当αTα＝1时，A不可逆．

admin2016-06-30  57
问题 设α是n维非零列向量，矩阵A＝E－ααT．证明：(1)A2＝A的充要条件是αTα＝1；(2)当αTα＝1时，A不可逆．
选项
答案(1)A2＝A[*](E－ααT)(E－ααT)＝E－ααT[*]E－2ααT＋α(αTα)αT＝E－ααT[*](αTα－1)ααT＝O(注意ααT≠O)[*]αTα＝1． (2)当αTα＝1时，A2＝A，若A可逆，用A-1左乘A2＝A两端，得A＝E，代入A的定义式．得ααT＝O．这与ααT≠O矛盾．
解析
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考研数学二

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