2. 考研
  3. y’’+y=xsinx的通解为________．

y’’+y=xsinx的通解为________．

admin2018-07-22  28
问题 y’’+y=xsinx的通解为________．
选项
答案y=C1cosx+C2sinx-[*]xsinx
解析 这是一个非齐次项形如f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]的形式的二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．
    首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程为r2+1=0，特征根为r1,2=±i，所以其通解为Y=C1cosx+C2sinx．
    其次求y’’+y=xsinx的一个特解．因为λ±iw=±i是特征根，故设y*=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]是其一个特解．则
y*’=(Cx2+2Ax+Dx+B)cosx+(-Ax2-Bx+2Cx+D)sinx，
y*’=(-Ax2-Bx+4Cx+2A+2D)cosx+(-Cx2-4Ax-Dx-2B+2C)sinx，
将其代入到y’’+y=xsinx，并化简得
    (4Cx+2A+2D)cosx+(-4Ax-2B+2C)sinx=xsinx，
比较等式两边cosx，sinx的系数，得

再比较等式两边x同次幂的系数，得

最后写出y’’+y=xsinx的通解，为
y=Y+y*=C1cosx+C2sinx-xsinx．
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考研数学一

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