y’’+y=xsinx的通解为________.

admin2018-07-22  21

问题 y’’+y=xsinx的通解为________.

选项

答案y=C1cosx+C2sinx-[*]xsinx

解析 这是一个非齐次项形如f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]的形式的二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题.
    首先求y’’+y=0的通解.y’’+y=0的特征方程为r2+1=0,特征根为r1,2=±i,所以其通解为Y=C1cosx+C2sinx.
    其次求y’’+y=xsinx的一个特解.因为λ±iw=±i是特征根,故设y*=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]是其一个特解.则
y*’=(Cx2+2Ax+Dx+B)cosx+(-Ax2-Bx+2Cx+D)sinx,
y*’=(-Ax2-Bx+4Cx+2A+2D)cosx+(-Cx2-4Ax-Dx-2B+2C)sinx,
将其代入到y’’+y=xsinx,并化简得
    (4Cx+2A+2D)cosx+(-4Ax-2B+2C)sinx=xsinx,
比较等式两边cosx,sinx的系数,得

再比较等式两边x同次幂的系数,得

最后写出y’’+y=xsinx的通解,为
y=Y+y*=C1cosx+C2sinx-xsinx.
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