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y’’+y=xsinx的通解为________.
y’’+y=xsinx的通解为________.
admin
2018-07-22
38
问题
y’’+y=xsinx的通解为________.
选项
答案
y=C
1
cosx+C
2
sinx-[*]xsinx
解析
这是一个非齐次项形如f(x)=e
λx
[P
m
(x)cosωx+P
n
(x)sinωx]的形式的二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题.
首先求y’’+y=0的通解.y’’+y=0的特征方程为r
2
+1=0,特征根为r
1,2
=±i,所以其通解为Y=C
1
cosx+C
2
sinx.
其次求y’’+y=xsinx的一个特解.因为λ±iw=±i是特征根,故设y
*
=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]是其一个特解.则
y
*
’=(Cx
2
+2Ax+Dx+B)cosx+(-Ax
2
-Bx+2Cx+D)sinx,
y
*
’=(-Ax
2
-Bx+4Cx+2A+2D)cosx+(-Cx
2
-4Ax-Dx-2B+2C)sinx,
将其代入到y’’+y=xsinx,并化简得
(4Cx+2A+2D)cosx+(-4Ax-2B+2C)sinx=xsinx,
比较等式两边cosx,sinx的系数,得
再比较等式两边x同次幂的系数,得
最后写出y’’+y=xsinx的通解,为
y=Y+y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx-
xsinx.
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