y’’+y=xsinx的通解为________．

admin2018-07-22 54

问题 y’’+y=xsinx的通解为________．

选项

答案y=C₁cosx+C₂sinx-[*]xsinx

解析这是一个非齐次项形如f(x)=e^λx[P_m(x)cosωx+P_n(x)sinωx]的形式的二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．
首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程为r²+1=0，特征根为r_1,2=±i，所以其通解为Y=C₁cosx+C₂sinx．
其次求y’’+y=xsinx的一个特解．因为λ±iw=±i是特征根，故设y^*=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]是其一个特解．则
y^*’=(Cx²+2Ax+Dx+B)cosx+(-Ax²-Bx+2Cx+D)sinx，
y^*’=(-Ax²-Bx+4Cx+2A+2D)cosx+(-Cx²-4Ax-Dx-2B+2C)sinx，
将其代入到y’’+y=xsinx，并化简得
(4Cx+2A+2D)cosx+(-4Ax-2B+2C)sinx=xsinx，
比较等式两边cosx，sinx的系数，得

再比较等式两边x同次幂的系数，得

最后写出y’’+y=xsinx的通解，为
y=Y+y^*=C₁cosx+C₂sinx-

xsinx．

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