2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征根．已知对应于λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(一1，1，0)T．试求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量和矩阵A．

设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征根．已知对应于λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(一1，1，0)T．试求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量和矩阵A．

admin2016-12-09  49
问题 设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征根．已知对应于λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(一1，1，0)T．试求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量和矩阵A．
选项
答案因α1，α2为实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故它们正交．于是有α1Tα2=(1，k，1)(一1，1，0)T=一1+k+0=0，即k=1，则α1=(1，1，1)T．设A的属于λ2=λ3=2的另一个特征向量为α3=(x1，x2，x3)T． 因A为实对称矩阵，属于二重特征值的特征向量中必有两个线性无关．为保证它们线性无关，可进一步要求它们正交，即α2Tα3=0， 则 [*] 及基础解系的简便求法即得基础解系为α3=(1，1，一2)T． 再由A(α1,α2,α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，得到A=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)(α1,α2,α3)一1 [*]
解析
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考研数学二

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