2. 考研
  3. 已知r（a1，a2，a3）=2，r（a2，a3，a4）=3，证明： （Ⅰ）a1能由a2，a3线性表示； （Ⅱ）a4不能由a1，a2，a3线性表示。

已知r（a1，a2，a3）=2，r（a2，a3，a4）=3，证明： （Ⅰ）a1能由a2，a3线性表示； （Ⅱ）a4不能由a1，a2，a3线性表示。

admin2017-01-21  41
问题 已知r（a1，a2，a3）=2，r（a2，a3，a4）=3，证明：
（Ⅰ）a1能由a2，a3线性表示；
（Ⅱ）a4不能由a1，a2，a3线性表示。
选项
答案（Ⅰ）r（α1，α2，α3，α4）=2＜3[*]α1，α2，α3线性相关； 假设α1不能由α2，α3线性表示，则α2，α3线性相关。 而由r（α2，α3，α4）=3[*]α2，α3，α4线性无关[*]α2，α3线性无关，与假设矛盾。 综上所述，α1必能由α2，α3线性表示。 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，α1可由α2，α3线性表示，则若α4能由α1，α2，α3线性表示[*]α4能由α2，α3线性表示，即r（α2，α3，α4）＜3与r（α2，α3，α4）=3矛盾，故α4不能由α1，α2，α3线性表示。
解析
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考研数学三

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