(2001年试题,二)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( ).

admin2019-05-06  27

问题 (2001年试题,二)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于(    ).

选项 A、一1
B、0
C、
D、1

答案A

解析 由题设,X+Y=n,且有X与Y均服从二项分布,设投掷一次正面向上的概率为P,则反面向上的概率为q=1-p,由题意,有X—B(n,P),Y—B(n,q),从而E(X)=np,E(Y)=nq,D(X)=np(1一P)=npq,D(Y)=nq(1一q)=npq已知X+Y=n。因而E(XY)=E[X(rt—X)]=nE(X)一E(X2)=nE(X)一{D(X)+[E(X)]2}=n2p—npq—n2p2从而Cov(X,y)=E(XY)一E(X)E(Y)=n2p—npq—n2p2一n2pg=一npq所以选A。解析二事实上,由X+Y=n,即Y=一X+n,知X与Y存在线性关系,且一次项的系数一1<0,故ρ=一1,可直接得出结论.对于随机变量Y=aX+b.若a>0,则X和Y的相关系数ρxy=1;若a<0,则X和Y的相关系数ρxy=一1.
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