(2010年试题，21)设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准型为y12+y22，且Q的第三列为求A；

admin2013-12-27 35

问题 (2010年试题，21)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准型为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

求A；

选项

答案因为二次型f在正交变换x=Qy下的标准型为y₁²+y₂²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=0．又Q的第三列为[*]故矩阵A对应于特征值λ₃=0的特征向量为α₃=[*]又矩阵A是实对称矩阵，故对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量分别为α₁,α₂，则[*]可取α₁=(0，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T则α₁，α₂与α₃是正交的．又α₁,α₂是相互正交的，故只需单位化得[*][*]故而矩阵[*]

解析

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