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设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫xbf(t)dt-k∫axf(t)dt, 证明: 若增设条件f(x)≠0,则(I)中的ξ是唯一的,并且必定有ξ∈(a,b).
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫xbf(t)dt-k∫axf(t)dt, 证明: 若增设条件f(x)≠0,则(I)中的ξ是唯一的,并且必定有ξ∈(a,b).
admin
2018-07-23
41
问题
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫
x
b
f(t)dt-k∫
a
x
f(t)dt,
证明:
若增设条件f(x)≠0,则(I)中的ξ是唯一的,并且必定有ξ∈(a,b).
选项
答案
若增设条件f (x)≠0,则 φˊ(x)=-f(x)-k f(x)=-(k+1)f(x)≠0. 由于f(x)连续且f(x)≠0,所以f(x)>0或者f(x)<0,所以φ(x)在[a,b]上严格单调,则φ(x)至多有一个零点,又由上一题知φ(a)φ(b)<0,则上一题中的ξ是唯一的.且ξ∈(a,b).
解析
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考研数学二
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