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求曲线x3-xy+y3=1(x≥0,y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离.
求曲线x3-xy+y3=1(x≥0,y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离.
admin
2014-08-19
114
问题
求曲线x
3
-xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离.
选项
答案
点(x,y)到坐标原点的距离[*],问题为求目标函数[*]在约束条件x
3
-xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)下的最大值和最小值.为方便求导,我们构造拉格朗日函数 F(x,y,λ)=x
2
+y
2
+λ(x
3
-xy+y
3
-1).解方程组[*] 由①,②消去λ得,(y-x)(3xy+x+y)=0,由于x≥0,y≥0,得y=x,代入③得唯一可能的极值点:x=y=1.另外,曲线L与x轴,y轴的交点分别为(1,0),(0,1).计算这些点到坐标原点的距离得d(1,1)=[*],d(1,0)=d(0,1)=1,故所求最长距离为[*],最短距离为1。
解析
[分析]本题考查二元函数的条件极值问题,用拉格朗日乘数法.
[评注]求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况.
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考研数学二
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