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  3. 求曲线x3－xy＋y3＝1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．

求曲线x3－xy＋y3＝1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2014-08-19  77
问题 求曲线x3－xy＋y3＝1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．
选项
答案点(x，y)到坐标原点的距离[*]，问题为求目标函数[*]在约束条件x3－xy＋y3＝1(x≥0，y≥0)下的最大值和最小值．为方便求导，我们构造拉格朗日函数 F(x，y，λ)＝x2＋y2＋λ(x3－xy＋y3－1)．解方程组[*] 由①，②消去λ得，(y－x)(3xy＋x＋y)＝0，由于x≥0，y≥0，得y＝x，代入③得唯一可能的极值点：x＝y＝1．另外，曲线L与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)．计算这些点到坐标原点的距离得d(1，1)＝[*]，d(1，0)＝d(0，1)＝1，故所求最长距离为[*]，最短距离为1。
解析 [分析]本题考查二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘数法．
[评注]求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况．
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考研数学二

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