求曲线x3－xy＋y3＝1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2014-08-19 120

问题求曲线x³－xy＋y³＝1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．

选项

答案点(x，y)到坐标原点的距离[*]，问题为求目标函数[*]在约束条件x³－xy＋y³＝1(x≥0，y≥0)下的最大值和最小值．为方便求导，我们构造拉格朗日函数 F(x，y，λ)＝x²＋y²＋λ(x³－xy＋y³－1)．解方程组[*] 由①，②消去λ得，(y－x)(3xy＋x＋y)＝0，由于x≥0，y≥0，得y＝x，代入③得唯一可能的极值点：x＝y＝1．另外，曲线L与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)．计算这些点到坐标原点的距离得d(1，1)＝[*]，d(1，0)＝d(0，1)＝1，故所求最长距离为[*]，最短距离为1。

解析 [分析]本题考查二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘数法．
[评注]求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况．

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考研数学二

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设级数的系数an满足关系式an=an-1／n+1-1／n，n=2，3，…，a1=2，则当｜x｜＜1时，的和函数S(x)=________。

设函数y=y(x)是方程y”+6y’+9y=0满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则∫0+∞y(x)dx=________。

由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的全微分dz｜(1,0，-1)=________。

设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)=0，且f(1)=1，证明：(1)存在x0∈(0，1)，使得f’(x0)=1；(2)存在ζ∈(0，1)，使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。

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