2. 考研
  3. 设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值。试求： (Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度； (Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数； (Ⅲ)P{X+Y＞1}。

设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值。试求： (Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度； (Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数； (Ⅲ)P{X+Y＞1}。

admin2018-01-12  96
问题 设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值。试求：
(Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度；
(Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数；
(Ⅲ)P{X+Y＞1}。
选项
答案(Ⅰ)根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 [*] 而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 [*] 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)= fX (x) fY|X (y|x)=[*] (Ⅱ)根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度 当0＜y＜1时，f Y (y)=∫ —∞ +∞ f(x，y)dx=∫ 0 y [*]=一ln(1一y)； 当y≤0或y≥1时，f Y (y)=0，所以f Y (y)=[*] (Ⅲ)如图3—3—4所示 [*]
解析
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考研数学三

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