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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明： 当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex－1.

设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明： 当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex－1.

admin2021-06-16  37
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明：
当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex－1.
选项
答案记F1(x)=ln(1+x)－x(0＜x＜1),则F’1(x)=[*]＜0,于是F1(x)在（0,1)内单调减少，由F1(x)在（0,1）内单调减少，由F1(0)=0可知F1(x)＜0，x∈(0,1),从而ln(1+x)＜x; 记F2(x)=x－ex+1(0＜x＜1），则F’2(x)=1－ex＜0，于是F2(x)在（0,1）内单调减少，由F2(0)=0可知F2(x)＜0，x∈(0,1),从而x＜ex－1. 故ln(1+x)＜x＜ex－1,0＜x＜1.
解析
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考研数学二

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