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设数列{xn}满足0<x1<1,ln(1+xn)=-1(n=1,2,…),证明: 当0<x<1时,ln(1+x)<x<ex-1.
设数列{xn}满足0<x1<1,ln(1+xn)=-1(n=1,2,…),证明: 当0<x<1时,ln(1+x)<x<ex-1.
admin
2021-06-16
32
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<1,ln(1+x
n
)=
-1(n=1,2,…),证明:
当0<x<1时,ln(1+x)<x<e
x
-1.
选项
答案
记F
1
(x)=ln(1+x)-x(0<x<1),则F’
1
(x)=[*]<0,于是F
1
(x)在(0,1)内单调减少,由F
1
(x)在(0,1)内单调减少,由F
1
(0)=0可知F
1
(x)<0,x∈(0,1),从而ln(1+x)<x; 记F
2
(x)=x-e
x
+1(0<x<1),则F’
2
(x)=1-e
x
<0,于是F
2
(x)在(0,1)内单调减少,由F
2
(0)=0可知F
2
(x)<0,x∈(0,1),从而x<e
x
-1. 故ln(1+x)<x<e
x
-1,0<x<1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/V6y4777K
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考研数学二
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