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设f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2,f(1)=1,求∫12f(x)dx=_____.
设f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2,f(1)=1,求∫12f(x)dx=_____.
admin
2019-08-11
57
问题
设f(x)连续,且∫
0
x
tf(2x-t)dt=
arctanx
2
,f(1)=1,求∫
1
2
f(x)dx=_____.
选项
答案
[*]
解析
由∫
0
x
(2x-t)dt
∫
2x
x
(2x-u)f(u)(-du)
=∫
x
2x
(2x-u)f(u)du=2x∫
x
2x
f(u)du-∫
x
2x
uf(u)du.
得2x∫
x
2x
f(u)du-∫
x
2x
uf(u)du=
arctanx
2
,等式两边对x求导得
2∫
2x
f(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=
,整理得
2∫
x
2x
f(u)du-xf(x)=
取x=1得2∫
1
2
f(u)du-f(1)=
,故∫
1
2
f(x)dx=
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0
考研数学二
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