设A=有三个线性无关的特征向量. (1)求a; (2)求A的特征向量; (3)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵.

admin2018-11-11  24

问题 设A=有三个线性无关的特征向量.
    (1)求a;
    (2)求A的特征向量;
    (3)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵.

选项

答案(1)由|λE-A|=[*]=(λ+2)(λ-1)2=0得矩阵A的特征值为 λ1=-2,λ2=λ3=1, 因为A有三个线性无关的特征向量,所以A可以相似对角化,从而r(E-A)=1, 由E-A=[*]得a=-1. (2)将λ=-2代入(λE-A)X=0,即(2E+A)X=0, 由2E+A=[*]得 λ=-2对应的线性无关的特征向量为α1=[*]: 将λ=1代入(2E-A)X=0,即(E-A)X=0, 由E-A=[*]得 λ=1对应的线性无关的特征向量为 [*] (3)令P=[*],则P-1AP=[*]

解析
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