已知矩阵 (I)求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵; (Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.

admin2020-08-04  44

问题 已知矩阵

(I)求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵;
(Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.

选项

答案(I)因为AT=A,则(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P,又 [*] 构造二次型 xTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4, 经配方,有 xTA2x=x12+x22+5(x3+2x4)2, [*] (Ⅱ)由|λE一A|=(λ2—1)(λ一5λ),知矩阵A的特征值为:1,5,0,一1,进而可知A+kE的特征值为k+1,k+5,k,k一1.于是由A+kE正定可知,k>1.

解析
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