设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明存在某个向量αk(2≤k≤m)，使αk能由α1，α2，…，αk-1线性表示．

admin2016-05-31 74

问题设向量组α₁，α₂，…，α_m线性相关，且α₁≠0，证明存在某个向量α_k(2≤k≤m)，使α_k能由α₁，α₂，…，α_k-1线性表示．

选项

答案因为向量组a₁，a₂，…，a_m线性相关，由定义知，存在不全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_m，使 λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ₃a₃=0．设λ_k≠0，当k=1时，代入上式有λ₁a₁=0．又因为a₁≠0，所以λ₁=0，与假设矛盾，故k≠1．当λ_k≠0且k≥2时，有 [*] 因此向量a_k能由a₁，a₂，…，a_k-1线性表示．

解析

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考研数学三

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