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给出如下5个命题: (1)若不恒为常数的函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且x0≠0是f(x)的极大值点,则-x0必是-f(-x)的极大值点; (2)设函数f(x)在[a,+∞)上连续,fˊˊ(x)在(a,+∞)内存在且大于零,则F(x)=在(a,+∞
给出如下5个命题: (1)若不恒为常数的函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且x0≠0是f(x)的极大值点,则-x0必是-f(-x)的极大值点; (2)设函数f(x)在[a,+∞)上连续,fˊˊ(x)在(a,+∞)内存在且大于零,则F(x)=在(a,+∞
admin
2019-03-11
52
问题
给出如下5个命题:
(1)若不恒为常数的函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且x
0
≠0是f(x)的极大值点,则-x
0
必是-f(-x)的极大值点;
(2)设函数f(x)在[a,+∞)上连续,fˊˊ(x)在(a,+∞)内存在且大于零,则F(x)=
在(a,+∞)内单调增加;
(3)若函数f(x)对一切x都满足xfˊˊ(x)+3x[fˊ(x)]
2
=1-e
-x
,且fˊ(x
0
)=0,x
0
≠0,则f(x
0
)是f(x)的极大值;
(4)设函数y=y(x)由方程2y
3
-2y
2
+2xy-x
2
=1所确定,则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点;
(5)设函数f(x)=xe
x
,则它的n阶导数f
(n)
(x)在点x
0
=-(n+1)处取得极小值.正确命题的个数为 ( )
选项
A、2
B、3
C、4
D、5
答案
B
解析
对上述5个命题一一论证.
对于(1),只要注意到:若f(x)在点x
0
取到极大值,则-f(x)必在点x
0
处取到极小值,故该结论错误;
对于(2),对任意x>a,由拉格朗日中值定理知,存在ξ∈(a,x)使f(x)-f(a)=fˊ(ξ)(x-a),
则
由fˊˊ(x)>0知,fˊ(x)在(a,+∞)内单调增加,因此,对任意的x与ξ,a<ξ<x,有fˊ(x)>fˊ(ξ),从而由上式得Fˊ(x)>0,所以函数F(x)在(a,+∞)内单调增加,该结论正确;
对于(3),因fˊ(x
0
)=0,故所给定的方程为fˊˊ(x
0
)=
,显然,不论x
0
>0,还是x
0
<0,都有fˊˊ(x
0
)>0,于是由fˊ(x
0
)=0与fˊˊ(x
0
)>0得f(x
0
)是f(x)的极小值,故该结论错误;
对于(4),对给定的方程两边求导,得
3y
2
yˊ-2yyˊ+xyˊ+y-x=0, ①
再求导,得
(3y
2
-2y+x)yˊˊ+(6y-2)(yˊ)
2
+2yˊ=1. ②
令yˊ=0,则由式①得y=x,再将此代入原方程有2x
3
-x
2
=1,从而得y=y(x)的唯一驻点x
0
=1,因x
0
=1时y
0
=1,把它们代入式②得yˊˊ|
(1,1)
>0,所以唯一驻点x
0
=1是y=y(x)的极小值点,该结论正确;
对于(5),因为是求n阶导数f
(n)
(x)的极值问题,故考虑函数f(x)=xe
x
的n+1阶导数f
(n+1)
(x),由高阶导数的莱布尼茨公式得
f
(n)
(x)=x(e
x
)
(n)
+n(e
x
)
(n-1)
=(x+n)e
x
,
f
(n+1)
(x)=[x+(n+1)e
x
;f
(n+2)
(x)=[x+(n+2)]e
x
.
令f
(n+1)
(x)=0,得f
(n)
(x)的唯一驻点x
0
=-(n+1);又因f
(n+2)
(x
0
)=e
-(n+1)
>0,故点x
0
=-(n+1)是n阶导数f
(n)
(x)的极小值点,且其极小值为f
(n)
(x
0
)=-e
-(n+1)
,该结论正确.
故正确命题一共3个,答案选择(B).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VPP4777K
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考研数学三
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