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已知α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解,其中 2α1一α2=[0,2,2,2]T, α1+α2+α3=[4,一1,2,3]T, 2α2+α3=[5,一1,0,1]T, 秩(A)=2,那么方程组AX=b的通解是__________.
已知α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解,其中 2α1一α2=[0,2,2,2]T, α1+α2+α3=[4,一1,2,3]T, 2α2+α3=[5,一1,0,1]T, 秩(A)=2,那么方程组AX=b的通解是__________.
admin
2022-04-10
65
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解,其中
2α
1
一α
2
=[0,2,2,2]
T
,
α
1
+α
2
+α
3
=[4,一1,2,3]
T
,
2α
2
+α
3
=[5,一1,0,1]
T
,
秩(A)=2,那么方程组AX=b的通解是__________.
选项
答案
[0,2,2,2]
T
+k
1
[一1,0,2,2]
T
+k
2
[一5,7,6,5]
T
解析
利用方程组解的结构及其性质求之.
因为n一r(A)=4—2=2,所以方程组AX=b的通解形式为
α+k
1
η
1
+k
2
η
2
,
其中α为Ax=b的特解,η
1
,η
2
为AX=0的基础解系.
因此,下面应求出AX=b的一个解及AX=0的两个线性无关的解.
根据解的性质知,
2α
1
一α
2
=α
1
+(α
1
-α
2
)=[0,2,2,2]
T
是AX=b的解.而
(α
1
+α
2
+α
3
)一(2α
2
+α
3
)=α
1
一α
2
=[一1,0,2,2]
T
是AX=0的解.
3(2α
1
一α
2
)一(2α
2
+α
3
)=5(α
1
一α
2
)+(α
1
-α
3
)=[一5,7,6,5]
T
是AX=0的解.显然[一1,0,2,2]
T
与[一5,7,6,5]
T
线性无关(对应分量不成比例).
因此,方程组AX=b的通解为
[0,2,2,2]
T
+k
1
[一1,0,2,2]
T
+k
2
[一5,7,6,5]
T
,
其中k
1
,k
2
为任意常数.
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考研数学三
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