已知α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解,其中 2α1一α2=[0,2,2,2]T, α1+α2+α3=[4,一1,2,3]T, 2α2+α3=[5,一1,0,1]T, 秩(A)=2,那么方程组AX=b的通解是__________.

admin2022-04-10  36

问题 已知α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解,其中
1一α2=[0,2,2,2]T
α1+α2+α3=[4,一1,2,3]T
2+α3=[5,一1,0,1]T
秩(A)=2,那么方程组AX=b的通解是__________.

选项

答案[0,2,2,2]T+k1[一1,0,2,2]T+k2[一5,7,6,5]T

解析 利用方程组解的结构及其性质求之.
因为n一r(A)=4—2=2,所以方程组AX=b的通解形式为
    α+k1η1+k2η2
其中α为Ax=b的特解,η1,η2为AX=0的基础解系.
因此,下面应求出AX=b的一个解及AX=0的两个线性无关的解.
根据解的性质知,
    2α1一α2=α1+(α1-α2)=[0,2,2,2]T
是AX=b的解.而
    (α1+α2+α3)一(2α2+α3)=α1一α2=[一1,0,2,2]T
是AX=0的解.
    3(2α1一α2)一(2α2+α3)=5(α1一α2)+(α1-α3)=[一5,7,6,5]T
是AX=0的解.显然[一1,0,2,2]T与[一5,7,6,5]T线性无关(对应分量不成比例).
    因此,方程组AX=b的通解为
    [0,2,2,2]T+k1[一1,0,2,2]T+k2[一5,7,6,5]T
其中k1,k2为任意常数.
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