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设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,一1,a+2,1)T,η2=(一1,2,4,a+8)T. (1)求(I)的一个基础解系; (2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解
设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,一1,a+2,1)T,η2=(一1,2,4,a+8)T. (1)求(I)的一个基础解系; (2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解
admin
2019-08-06
57
问题
设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)的系数矩阵为
(Ⅱ)的一个基础解系为η
1
=(2,一1,a+2,1)
T
,η
2
=(一1,2,4,a+8)
T
.
(1)求(I)的一个基础解系;
(2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解.
选项
答案
(1)把(I)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 [*] 得到(I)的同解方程组 [*] 对自由未知量x
3
,x
4
赋值,得(I)的基础解系γ
1
=(5,一3,1,0)
T
,γ
3
=(一3,2,0,1)
T
. (2)(Ⅱ)的通解为c
1
η
1
+c
2
η
2
=(2c
1
—c
2
,一c
1
+2c
2
,(a+2)c
1
+4c
2
,c
1
+(a+8)c
2
)
T
. 将它代入(I),求出为使c
1
η
1
+c
2
η
2
也是(I)的解(从而是(I)和(Ⅱ)的公共解),c
1
,c
2
应满足的条件(过程略)为: [*] 于是当a+1≠0时,必须c
1
=c
2
=0,即此时公共解只有零解. 当a+1=0时,对任何c
1
,c
2
,c
1
η
1
+c
2
η
2
都是公共解.从而(I),(Ⅱ)有公共非零解.此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解:c
1
η
1
+c
2
η
2
,c
1
,c
2
不全为0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/V5J4777K
0
考研数学三
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