设f(x)二阶可导，且=0，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得 ξf″(ξ)+2f′(ξ)=0．

admin2021-11-15 0

问题设f(x)二阶可导，且

=0，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得
ξf″(ξ)+2f′(ξ)=0．

选项

答案由[*]=0得f(0)=1，f′(0)=0， f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)=0．令φ(x)=x²f′(x)， φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ′(ξ)=0，而φ′(x)=2xf′(x)+x²f″(x)，于是2ξf′(ξ)+ξ²f″(ξ)=0，再由ξ≠0得ξf″(ξ)+2f′(ξ)=0．

解析

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