若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是________。

admin2020-03-10 37

问题若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是________。

选项

答案y=x(1-e^x)+2

解析由y=(C₁+C₂x)e^x是齐次方程的通解可知，r=1是齐次方程对应的特征方程的二重根，则特征方程为(r-1)²=0，即r²-2r+1=0。则a=-2，b=1。
设非齐次方程的一个特解为y^*=Ax+B，将之代入原方程得A=1，B=2，非齐次方程的通解为
y=(C₁+C₂x)e^x+x+2。
由y(0)=2，y’(0)=0得

则C₁=0，C₂=-1。
因此满足条件的解为y=-xe^x+x+2=x(1-e^x)+2。

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