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  3. 若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是________。

若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是________。

admin2020-03-10  58
问题 若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是________。
选项
答案y=x(1-ex)+2
解析 由y=(C1+C2x)ex是齐次方程的通解可知，r=1是齐次方程对应的特征方程的二重根，则特征方程为(r-1)2=0，即r2-2r+1=0。则a=-2，b=1。
    设非齐次方程的一个特解为y*=Ax+B，将之代入原方程得A=1，B=2，非齐次方程的通解为
y=(C1+C2x)ex+x+2。
由y(0)=2，y’(0)=0得

则C1=0，C2=-1。
因此满足条件的解为y=-xex+x+2=x(1-ex)+2。
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考研数学一

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