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  3. 已知函数y=|ln|x||与直线y=kx有且只有两个交点，则k=_______。

已知函数y=|ln|x||与直线y=kx有且只有两个交点，则k=_______。

admin2020-04-22  22
问题 已知函数y=|ln|x||与直线y=kx有且只有两个交点，则k=_______。
选项
答案±1／e或0
解析 首先画出函数y=|ln|x||的图形，

注意到函数y=|ln|x||关于y轴对称，直线y=kx恒过原点(0，0)。
当k=0时，直线y=kx和y=|ln|x||恰好只有两个交点，分别是(-1，0)和(1，0)。
当k≠0时，由于对称性，只需考虑x＞0的情况：
注意到当0＜x＜1时，无论k取何值，二者总有一个交点，故只需当x＞1时，直线y=kx与曲线y=lnx似有且只有一个交点，即可转化成当x＞1时，直线y=kx与曲线y=lnx相切的问题。
假设切点为(t，lnt)，则过(0，0)点与y=lnx相切的直线为y=1／tx，即k=1／t，注意到切点在直线上，故lnt=1／t．t=1，解得t=e，所以k=1／e。
由对称性可知，当k=-1／e时也符合题意。
综上所述，k=±1／e或0。
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考研数学一

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