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设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(
设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(
admin
2019-12-26
53
问题
设向量组(I)α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,-1,a+2)
T
和向量组(Ⅱ)β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
对(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
,β
3
)作初等行变换,得 [*] (1)当a≠-1时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3)均有唯一解,所以β
1
,β
2
,β
3
可由向量组(I)线性表示. 由于行列式 [*] 故对任意a,方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
j
(j=1,2,3)都有唯一解,即向量组α
1
,α
2
,α
3
能由向量组(Ⅱ)线性表示. 因此,当a≠-1时,向量组(I)与(Ⅱ)等价. (2)当a=-1时,有 [*] 由于秩r(α
1
,α
2
,α
3
)≠r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
),所以线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
1
无解,故β
1
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.因此,向量组(I)与(Ⅱ)不等价.
解析
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考研数学三
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