设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(

admin2019-12-26  27

问题 设向量组(I)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案对(α1,α2,α3[*]β1,β2,β3)作初等行变换,得 [*] (1)当a≠-1时,r(α1,α2,α3)=3,线性方程组x1α1+x2α2+x3α3i(i=1,2,3)均有唯一解,所以β1,β2,β3可由向量组(I)线性表示. 由于行列式 [*] 故对任意a,方程组x1β1+x2β2+x3β3j(j=1,2,3)都有唯一解,即向量组α1,α2,α3能由向量组(Ⅱ)线性表示. 因此,当a≠-1时,向量组(I)与(Ⅱ)等价. (2)当a=-1时,有 [*] 由于秩r(α1,α2,α3)≠r(α1,α2,α3,β1),所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α31无解,故β1不能由α1,α2,α3线性表示.因此,向量组(I)与(Ⅱ)不等价.

解析
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