2. 考研
  3. [2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．

[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．

admin2019-05-10  50
问题 [2000年]  设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=(    )．
选项 A、[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]T
B、[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]T
C、[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T   
D、[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T
答案C
解析  关键在于构造出AX=0的一个非零特解，求得其基础解系．构造的方法需利用命题2．4．4．1．
解一  仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合：
    2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)．
因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为
X=α1+c[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，  c为任意常数．
解二  仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故
    α1一(α3+α2)／2=(1／2)[2α1一(α2+α3)]=(1／2)[2，3，4，5]T
是AX=0的一个解，从而2×(1／2)[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η，也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为AX=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为
    X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，  其中C为任意常数．
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考研数学二

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