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[2000年] 设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( ).
[2000年] 设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( ).
admin
2019-05-10
53
问题
[2000年] 设α
1
,α
2
,α
3
是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且秩(A)=3,α
1
=[1,2,3,4]
T
,α
2
+α
3
=[0,1,2,3]
T
,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( ).
选项
A、[1,2,3,4]
T
+c[1,1,1,1]
T
B、[1,2,3,4]
T
+c[0,1,2,3]
T
C、[1,2,3,4]
T
+c[2,3,4,5]
T
D、[1,2,3,4]
T
+c[3,4,5,6]
T
答案
C
解析
关键在于构造出AX=0的一个非零特解,求得其基础解系.构造的方法需利用命题2.4.4.1.
解一 仅(C)入选.AX=b为四元非齐次方程组,秩(A)=3,AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量.将特解的线性组合2α
1
,α
2
+α
3
写成特解之差的线性组合:
2α
1
一(α
2
+α
3
)=(α
1
一α
2
)+(α
1
一α
3
).
因2一(1+1)=0,由命题2.4.4.1知,2α
1
一(α
2
+α
3
)=[2,3,4,5]
T
≠0仍为AX=0的一个解向量,且为其一个基础解系,故AX=b的通解为
X=α
1
+c[2α
1
一(α
2
+α
3
)]=[1,2,3,4]
T
+c[2,3,4,5]
T
, c为任意常数.
解二 仅(C)入选.因秩(A)=3,故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1,所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.由于α
1
及(α
2
+α
3
)/2都是AX=b的解(因1/2+1/2=1),故
α
1
一(α
3
+α
2
)/2=(1/2)[2α
1
一(α
2
+α
3
)]=(1/2)[2,3,4,5]
T
是AX=0的一个解,从而2×(1/2)[2,3,4,5]
T
=[2,3,4,5]
T
=η,也是AX=0的一个解,且因η≠0,故η为AX=0的一个基础解系,所以AX=b的通解为
X=α
1
+cη=[1,2,3,4]
T
+c[2,3,4,5]
T
, 其中C为任意常数.
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考研数学二
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