[2000年] 设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( ).

admin2019-05-10  36

问题 [2000年]  设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α23=[0,1,2,3]T,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=(    ).

选项 A、[1,2,3,4]T+c[1,1,1,1]T
B、[1,2,3,4]T+c[0,1,2,3]T
C、[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]T   
D、[1,2,3,4]T+c[3,4,5,6]T

答案C

解析  关键在于构造出AX=0的一个非零特解,求得其基础解系.构造的方法需利用命题2.4.4.1.
解一  仅(C)入选.AX=b为四元非齐次方程组,秩(A)=3,AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量.将特解的线性组合2α1,α23写成特解之差的线性组合:
    2α1一(α23)=(α1一α2)+(α1一α3).
因2一(1+1)=0,由命题2.4.4.1知,2α1一(α23)=[2,3,4,5]T≠0仍为AX=0的一个解向量,且为其一个基础解系,故AX=b的通解为
X=α1+c[2α1一(α23)]=[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]T,  c为任意常数.
解二  仅(C)入选.因秩(A)=3,故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1,所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.由于α1及(α23)/2都是AX=b的解(因1/2+1/2=1),故
    α1一(α32)/2=(1/2)[2α1一(α23)]=(1/2)[2,3,4,5]T
是AX=0的一个解,从而2×(1/2)[2,3,4,5]T=[2,3,4,5]T=η,也是AX=0的一个解,且因η≠0,故η为AX=0的一个基础解系,所以AX=b的通解为
    X=α1+cη=[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]T,  其中C为任意常数.
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