①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)． ③设A和B是两个

admin2017-07-10 61

问题 ①设α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…β_t都是n维向量组，证明r(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)≤r(α₁，α₂，…，α_s)+r(β₁，β₂，…，β_t)．
②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)．
③设A和B是两个列数相同的矩阵，

表示A在上，B在下构造的矩阵．证明

选项

答案这是3个互相等价的命题：①是②的向量形式；③是②的转置形式．因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明．证明①．取{α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t}的一个最大无关组(Ⅰ)，记(Ⅰ) ₁是(Ⅰ)中属于α₁，α₂，…，α_s中的那些向量所构成的部分组，(Ⅰ) ₂是(Ⅰ)中其余向量所构成的部分组．于是(Ⅰ) ₁和(Ⅰ) ₂分别是属于α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α₁，α₂，…，α_s)和r(β₁，β₂，…，β_t)．从而 r(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)=(Ⅰ)中向量个数 =(Ⅰ) ₁中向量个数+(Ⅰ) ₂中向量个数 ≤r(α₁，α₂，…，α_s)+r(β₁，β₂，…，β_t)．

解析

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考研数学二

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①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)． ③设A和B是两个

考研数学二

[*]

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