2. 考研
  3. ①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)． ③设A和B是两个

①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)． ③设A和B是两个

admin2017-07-10  46
问题 ①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．
②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A｜B)≤r(A)+r(B)．
③设A和B是两个列数相同的矩阵，表示A在上，B在下构造的矩阵．证明
选项
答案这是3个互相等价的命题：①是②的向量形式；③是②的转置形式．因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明． 证明①．取{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt}的一个最大无关组(Ⅰ)，记(Ⅰ) 1是(Ⅰ)中属于α1，α2，…，αs中的那些向量所构成的部分组，(Ⅰ) 2是(Ⅰ)中其余向量所构成的部分组．于是(Ⅰ) 1和(Ⅰ) 2分别是属于α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α1，α2，…，αs)和r(β1，β2，…，βt)．从而 r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=(Ⅰ)中向量个数 =(Ⅰ) 1中向量个数+(Ⅰ) 2中向量个数 ≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．
解析
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考研数学二

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