若A是n阶正定矩阵．证明A-1，A*也是正定矩阵．

admin2020-03-10 29

问题若A是n阶正定矩阵．证明A^-1，A^*也是正定矩阵．

选项

答案因A正定，所以A^T=A．那么(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，即A^-1是实对称矩阵．设A的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，那么A^-1的特征值是[*]，由A正定知λ＞0(i=1，2，…，n)．因此A^-1的特征值[*]＞0(i=1，2，…，n)．从而A^-1正定． A^*=｜A｜A^-1，｜A｜＞0，则A^*也是实对称矩阵，并且特征值为 [*] 都大于0．从而A^*正定．

解析

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