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已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
admin
2019-07-10
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问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f
’
(η)f
’
(ζ)=1.
选项
答案
(Ⅰ)即证[*]在(0,1)存在零点. 由于F(x)在[0,1]连续,且F(0)=-1,F(1)=1,即F(0).F(1)<0, 由连续函数的零点存在性定理知,[*]ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ. (Ⅱ)利用题(Ⅰ)的结果,在[0,ξ]上用拉格朗日中值定理知,[*]η∈(0,ξ),使得[*] 在[ξ,1]上,用拉格朗日中值定理知,[*]ζ∈(ξ,1),使得[*],两式相乘得f
’
(η).f
’
(ζ)=1.
解析
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考研数学二
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