2. 考研
  3. 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

admin2019-07-10  59
问题 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．
选项
答案(Ⅰ)即证[*]在(0，1)存在零点． 由于F(x)在[0，1]连续，且F(0)=-1，F(1)=1，即F(0).F(1)＜0， 由连续函数的零点存在性定理知，[*]ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ． (Ⅱ)利用题(Ⅰ)的结果，在[0，ξ]上用拉格朗日中值定理知，[*]η∈(0，ξ)，使得[*] 在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理知，[*]ζ∈(ξ，1)，使得[*]，两式相乘得f’(η).f’(ζ)=1．
解析
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考研数学二

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