若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1,又x＞x0时，ψ(n)(x)＞ψ(n)(x)．试证：当x>x0时，φ(x)＞ψ(x)．

admin2015-07-04 48

问题若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ^(k)(x₀)=ψ^(k)(x₀)，k=0，1，2，…，n一1,又x＞x₀时，ψ⁽ⁿ⁾(x)＞ψ⁽ⁿ⁾(x)．试证：当x>x₀时，φ(x)＞ψ(x)．

选项

答案令u^(n-1)(x)=φ^(n-1)(x)一ψ^(n-1)(x)．在[x₀，x]上用微分中值定理得u^(n-1)(x)－u^)n-1(x₀)=u⁽ⁿ⁾(ξ.(x-x₀)，x₀＜ξ＜x．又由u⁽ⁿ⁾(ξ)＞0可知u^(n-1)(x)一u^(n-1)(x₀)＞0，且u^(n-1)(x₀)=0，所以u^(n-1)(x)＞0，即当x＞x₀时，φ^(n-1)(x)＞ψ^(n-1)(x)．同理u^(n-2)(x)=φ^(n-2)(x)一ψ^(n-2)(x)＞0．归纳有u^(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x₀时，φ(x)＞ψ(x)．

解析

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考研数学一

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设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数，证明：
求极限：
已知随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)常数a，b的值；(2)。
已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数fn(x)之和．
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