设f(χ)在[a,b]上二阶可导,且f〞(χ)>0,取χi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki>0(i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1.证明:f(k1χ1+k2χ2+…+knχn)≤k1f(χ1)+k2f(χ2)+…+knf(χn).

admin2017-09-15  39

问题 设f(χ)在[a,b]上二阶可导,且f〞(χ)>0,取χi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki>0(i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1.证明:f(k1χ1+k2χ2+…+knχn)≤k1f(χ1)+k2f(χ2)+…+knf(χn).

选项

答案令χ0=k1χ1+k2χ2+…+knχn,显然χ0∈[a,b]. 因为f〞(χ)>0,所以f(χ)≥f(χ0)+f′(χ0)(χ-χ0) 分别取χ=χi(i=1,2,…,n)得 [*] 由ki>0(i=1,2,…,n),上述各式分别乘以ki(i=1,2,…,n),得 [*] 将上述各式分别相加,得f(χ0)≤k1f(χ1)+k2f(χ2)+…+knf(χn),即 f(k1χ1+k2χ2+…+knχn)≤k1f(χ1)+k2f(χ2)+…+knf(χn).

解析
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