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[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
[2013年] 设二次型 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
admin
2021-01-19
29
问题
[2013年] 设二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
3x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，
记
证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
选项
答案
按二次型矩阵的定义证之． 证一 令X=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则 a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
=[x
1
，x
2
，x
3
][*]=[a
1
，a
2
，a
3
][*] b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
=[x
1
，x
2
，x
3
][*]=[b
1
，b
2
，b
3
][*] 故2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
) =2[x
1
，x
2
，x
3
][*][a
1
，a
2
，a
3
][*] =2(X
T
α)(α
T
X)=2X
T
(αα
T
)X， (b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=2X
T
(ββ
T
)X， 故f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
(2αα
T
+ββ
T
)X．又因(2αα
T
+ββ
T
)
T
=2(αα
T
)
T
+(ββ
T
)
T
=2αα
T
+ββ
T
，即2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为A=2αα
T
+ββ
T
． 证二 将f(x
1
，x
2
，x
3
)的表达式展开，直接写出二次型f的矩阵，并将其化为2αα
T
+ββ
T
，得到A=2αα
T
+ββ
T
.
解析
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考研数学二
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