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[2013年] 设二次型 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2, 记 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT;
[2013年] 设二次型 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a33x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2, 记 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT;
admin
2021-01-19
44
问题
[2013年] 设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
3x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,
记
证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
;
选项
答案
按二次型矩阵的定义证之. 证一 令X=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则 a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
=[x
1
,x
2
,x
3
][*]=[a
1
,a
2
,a
3
][*] b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
=[x
1
,x
2
,x
3
][*]=[b
1
,b
2
,b
3
][*] 故2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
) =2[x
1
,x
2
,x
3
][*][a
1
,a
2
,a
3
][*] =2(X
T
α)(α
T
X)=2X
T
(αα
T
)X, (b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=2X
T
(ββ
T
)X, 故f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
(2αα
T
+ββ
T
)X.又因(2αα
T
+ββ
T
)
T
=2(αα
T
)
T
+(ββ
T
)
T
=2αα
T
+ββ
T
,即2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵,所以二次型f对应的矩阵为A=2αα
T
+ββ
T
. 证二 将f(x
1
,x
2
,x
3
)的表达式展开,直接写出二次型f的矩阵,并将其化为2αα
T
+ββ
T
,得到A=2αα
T
+ββ
T
.
解析
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考研数学二
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