设上半平面曲线L：y=y(x)为凸曲线，任取一点P（x,y)∈L处的曲率与该点法线段PQ的长度互为倒数(Q即法线与横轴交点),又曲线y=y(r)上的点(1.1) 处的切线水平,求y=y(x).

admin2021-02-27 5

问题设上半平面曲线L：y=y(x)为凸曲线，任取一点P（x,y)∈L处的曲率与该点法线段PQ的长度互为倒数(Q即法线与横轴交点),又曲线y=y(r)上的点(1.1) 处的切线水平,求y=y(x).

选项

答案曲线在点P处的法线方程为 [*] 令Y=0得X=x+yy’，即Q(x+yy’,0) [*] 整理得 yy"+y’²=-1或（yy’)’=-1 解得yy’=-x+C₁ 将x=1,y=1，y’(1)=0代入得C₁=1,即yy’=1-x 解得y²=-(x-1)²+C₂ 将x=1,y=1代入得C₂=1,故所求曲线为[*]。

解析

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