设α1，α2，…，αα5均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

admin2020-06-05 37

问题设α₁，α₂，…，αα₅均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

选项 A、若α₁，α₂，…，α₅线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα₅线性相关
B、若α₁，α₂，…，α₅线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα₅线性无关
C、若α₁，α₂，…，α₅线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα₅线性相关
D、若α₁，α₂，…，α₅线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα₅线性无关

答案A

解析方法一
因为(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)＝A(α₁，α₂，…，α_s)，记为C＝AB，由矩阵秩的性质
R(C)＝R(AB)≤min{R(A)，R(B)}
所以，若R(B)﹤s，则必有R(C)﹤s．也就是说若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
方法二
取A＝0，则选项(B)，(D)不成立；若取A＝E，则选项(C)不成立．
方法三
因为α₁ ，α₂ ，…，α_s 线性相关，所以存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得
k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0
从而 A(k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s)＝0
即 k₁(Aα₁ )＋k₂(Aα₂ )＋…＋k_s(Aα_s )＝0
由此存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s使得上式成立，所以Aα₁ ，Aα₂ ，…，Aα_s 线性相关．

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考研数学一

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