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设α1，α2，…，αα5均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．
设α1，α2，…，αα5均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．
admin
2020-06-05
18
问题
设α
1
，α
2
，…，αα
5
均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．
选项
A、若α
1
，α
2
，…，α
5
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
5
线性相关
B、若α
1
，α
2
，…，α
5
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
5
线性无关
C、若α
1
，α
2
，…，α
5
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
5
线性相关
D、若α
1
，α
2
，…，α
5
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
5
线性无关
答案
A
解析
方法一
因为(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)＝A(α
1
，α
2
，…，α
s
)，记为C＝AB，由矩阵秩的性质
R(C)＝R(AB)≤min{R(A)，R(B)}
所以，若R(B)﹤s，则必有R(C)﹤s．也就是说若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
方法二
取A＝0，则选项(B)，(D)不成立；若取A＝E，则选项(C)不成立．
方法三
因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，所以存在一组不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得
k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
s
α
s
＝0
从而 A(k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
s
α
s
)＝0
即 k
1
(Aα
1
)＋k
2
(Aα
2
)＋…＋k
s
(Aα
s
)＝0
由此存在一组不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
s
使得上式成立，所以Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/i8v4777K
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考研数学一
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