2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αα5均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

设α1，α2，…，αα5均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

admin2020-06-05  27
问题 设α1，α2，…，αα5均为n维列向量，A为m×n矩阵，下列选项正确的是(    )．
选项 A、若α1，α2，…，α5线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aα5线性相关
B、若α1，α2，…，α5线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aα5线性无关
C、若α1，α2，…，α5线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aα5线性相关
D、若α1，α2，…，α5线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aα5线性无关
答案A
解析 方法一
因为(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝A(α1，α2，…，αs)，记为C＝AB，由矩阵秩的性质
R(C)＝R(AB)≤min{R(A)，R(B)}
所以，若R(B)﹤s，则必有R(C)﹤s．也就是说若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
方法二
取A＝0，则选项(B)，(D)不成立；若取A＝E，则选项(C)不成立．
方法三
因为α1 ，α2 ，…，αs 线性相关，所以存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使得
k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0
从而    A(k1α1＋k2α2＋…＋ksαs)＝0
即    k1(Aα1 )＋k2(Aα2 )＋…＋ks(Aαs )＝0
由此存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得上式成立，所以Aα1 ，Aα2 ，…，Aαs 线性相关．
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考研数学一

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